上一篇文章中我们得到了声学波动方程。这篇文章本来是准备求解这个方程的，但是波动方程作为物理学中非常重要的方程，求解它需要做很多的铺垫工作。而求解波动方程所需的数学知识中最重要的就是Fourier级数有关部分。我写着写着发现有关Fourier级数部分的篇幅已经太长了，所以拿出来单独作一篇文章。以后这个专栏内的文章也会出现像这一篇这样单独讲解数学知识的部分。

　　\tag{1}\nabla ^2p=\frac{1}{C_{0}^{2}}\frac{\partial ^2p}{\partial t^2}这一方程在物理学上非常地重要，它有着深刻的物理含义和广泛的应用。这一方程在现实生活中可以从多种物理现象中导出，具有普遍性。为了深入地在数学和物理学中理解这一方程，我们需要为此进行一定的前期准备工作。包括数学上的准备和物理上的准备。在这之前，我们先来了解一下Fourier级数。这一知识在物理、数学、信号、工程上有着广泛的应用。但是我并不准备直接从数学中得到它的相关性质。我们先来看物理中一个早就已经被抛弃的观点——地心说。

　　在早期的天文学中，人们通过观测太阳和月球的运动，很自然地认为地球是宇宙的中心。但是随着天文学的发展，人们观察其他星体的运动时，却发现了其他的星体并不像太阳或者月亮那样围绕地球作很好的周期运动。部分星体出现了所谓的“逆行”现象，即绕地球的星体本应该像太阳一样只向一个方向运动，却突然在某一端时间出现了向反方向运动的变化。公元前三世纪，古希腊著名数学家Apollonius(阿波罗尼奥斯)为此提出了本轮和均轮的概念。他认为，一切的星体都是围绕地球运动的，但是有些星体并不是直接处于围绕地球的圆形轨道，而是在这个圆形轨道的基础上，星体相对于这个轨道上的一个绕地球周期运动的点做周期运动。第一个圆形轨道称为本轮，第二个圆形轨道称为均轮。翻译成数学语言就是，在平面坐标系中，本轮的位矢随时间的变化关系满足：

　　我们现在可以解释逆行现象，实际上由于本轮加上均轮后的轨迹为\vec{R}=\vec{r}_0+\vec{r}_1，将它对t求导，很自然地得到它与时间相关的速度：

　　\vec{v}_{0}=\frac{d\vec{R}}{dt}=( -a_0w_0\sin \left( w_0t \right) ,a_0w_0\cos \left( w_0t \right) ) \\我们认为认为星体在本轮的轨迹上运动的方向为正常的方向。显然，当a_1w_1a_0w_0时，就有可能存在某一时刻使得\vec{v}\cdot \vec{v}_00，这表现为增添了均轮后的星体的运动方向在该时刻与未增添均轮时的本轮的轨迹上对应点的运动方向相反。这样在观测的时候就可以认为星体发生了“逆行”。由于速度始终与轨迹相切，如图2所示，在蓝线与绿线交点处，就发生了所谓的“逆行”现象。

　　后来的西方天文学家们觉得这个本轮均轮的概念很好用，尝试用它解释其他星体的运动。却意外发现，往往一个本轮一个均轮解决不了问题，那怎么办？照葫芦画瓢我再加一个轮上轮，如果还不行，那就再加一个。于是乎随着人们观测技术的发展，所能观测的星体越来越多，轮上轮也越来越多，类似我们前面添加均轮的过程，即取：

　　这个式子中m的值越来越大，最后甚至达到了80多个。西方的天文学家有点绷不住了，开始思考是不是地心说错了。伟大的天文学家哥白尼在大量的观测和计算之后，提出了日心说，很完美地解释了火星等星体的运动轨迹问题。但是这一学说同当时的基督教义相违背，罗马教廷对此十分不满，甚至烧死了支持日心说的布鲁诺。不过时代的车轮滚滚向前，科学总是向更加合理符合实际的方向发展，地心说最终还是被遗留在了历史长河之中。

　　当现代物理学建立之后，人们已经深刻认识到无论是地心说还是日心说，无非就是一个参考系的选择问题。选择无论是选择地球作为参考系还是太阳作为参考系，没有本质的区别，只不过是相对运动的轨迹发生了变化。但是，地心说的“本轮”、“均轮”的概念却足够引起人们的深思。我们知道，不同的天体的相对于地球运动轨迹是非常复杂的，但是似乎总能通过增加轮上轮来不断地逼近真实的轨道，即对任意轨道R=(g(t),h(t))总有：

　　成立。这个疑问在Fourier级数出现过后被非常好地解决了。我们仅讨论方程组(2)式中的第一项，现在我们知道，对满足一定条件的一个函数f(x),能找到一系列的不同振幅不同周期的三角函数，使得：

　　“用一系列函数的和去逼近某个特殊的函数。”我们不是首次接触这种思想，Taylor级数f\left( x \right) =\sum_{n=0}^{\infty}{a_n(x-x_0)^n}，就是一个典型的例子，这称之为函数展开。而Fourier级数与Taylor有所不同，Taylor级数更注重“展开点”的概念，而Fourier级数更注重“展开区间”。接下来我们依旧尝试从物理概念中把Fourier级数抽象出来，由(3)式,我们把质点运动的横坐标函数和纵坐标函数相加令其等于f(t)，得：

　　(1)f(t)是星体运动的轨迹的横纵坐标对应函数之和，星体相对于地球的运动，应该具有一定的周期性，即对g(t)和h(t)存在一个相同的时间间隔T,使得经过T时间后星体回到原处，则f(t+T)=f(t)，f(t)在区间(0,T)外是周期函数。

　　(2)对这个宏观物体的运动，其轨迹必然是连续且且可导，即g(t)和h(t)处处连续且可导，故f(t)处处连续且可导，其导函数也是连续的。但是，数学家们经过研究发现，这个条件可以放松，仅需要f(t)和f\left( t \right)在周期(0,T)内分段连续(分段光滑)即可。

　　(3)对于宏观实际运动中的物体，每一个时刻必然对应于空间中的一个点，(量子力学中的粒子的位置与之不同)，即g(t)和h(t)都是个单值函数，这表明f(t)在周期内是个单值函数。数学家们发现这个条件也可以放松，只需要f(t)在(0,T)内除了有限个点外有定义且单值即可。

　　这三个条件，实际上就是描述Fourier级数收敛性的关键，它们称之为Dirichlet定理。我们终于可以在这里给出Fourier级数的定义，将在(5)式完全从物理上抽象出来，认为我们取了无穷个轮上轮，即n\rightarrow \infty，再取其和函数周期T为2\pi,则得到：

　　我们提取取Fourier级数中的一系列正弦函数和余弦函数分别组成集合A,B。其中：

　　现在我们必须深入理解函数的正交二字的意思，这个概念来源于向量，如果两个向量相互垂直，那么它们的积便是0,则称这两个向量“正交”。而两个相互垂直的向量，它们的线性组合可以表示它们所决定的二维平面内的全部向量。这样，如果有三个相互垂直的向量，它们的线性组合自然可以表达三者三维空间中的全部向量。那么，如果存在着所谓的n维空间，找到n个正交的向量，便可以用这n个向量的线性组合表达n维空间中的任意一个向量。不妨使这样的n个向量构成集合\left\{ \vec{r}_n \right\}(n=1,2,3......)。而我们描述函数的所谓“正交”性，就是类似于向量的正交性。如同我们以前定义向量的内积，我们现在定义函数的内积：两个函数之积在特定区间上的积分和，就称之为这个两个函数在特定区间上的内积(之后我们讲到Bseesl函数时关于正交和内积的概念还要重申一遍)。而(8)式实际上就是sin(nx)和sin(mx)在区间(0,2\pi)上的内积。牢记函数的内积这个概念，它将伴随我们整个波动学的讲述。

　　现在我们可以把集合A看作一个向量集，把里面的每个函数看作向量，有如下的对应关系：

　　(2)函数集中的任意一个函数{sin(mx)}——向量集中的任意一个向量{\vec{r}_m}

　　现在我们来仿照向量的相关关系，完成我们之前提出的，确定a_0,a_n和b_n展开系数的问题。

　　那么这样的一个函数便可以用无穷多个三角函数去拟合，Fourier级数在连续点收敛于：

　　接下来我们用一个实际的例子来直观地感受一下Fourier级数的收敛性质。

　　很好，非常完美的周期性三角函数，和原来的阶跃函数差之甚远。接下来我们增加n的值，n=5时，如图(4):

　　图(4)的图像向我们展示了，这个函数已经逐渐向原阶跃函数开始收敛。继续增大n的值，取n=20：

　　如图(5)所示，当n达到20时，右边的级数已经相当趋近于原阶跃函数了。继续增大n值，取n=50:

　　如图(6)所示，右边的级数看起来确实比n=20时更接近于原阶跃函数了，但是接近的程度不多。由此可见天文学家们就算取80个轮上轮也不会对结果产生多少的修正，这是让人崩溃的。由于级数相的增多，n增大时，相应的极值点也增多了。我们从这个例子中可以切实直观的感受到Fourier级数向着原函数收敛的性质。当n趋向于无穷大时，显然Fourier级数会按Dirichelt定理收敛于原函数。

　　现在来推广一下，Fourier级数也能适用于周期为2L的函数，只要对级数中的相进行相应的延长和收缩即可，对以2L为周期的函数：

　　在一些实际问题中，函数\phi \left( x \right)是一个定义在(0,L)上的任意函数，因为它不满足周期性，我们之前推导的有关Fourier级数的结果是不适用的。这样的函数能展开成所谓的“半幅Fourier级数”。当\phi \left( x \right)在(0,2\pi)上是分段光滑的，则\phi \left( x \right)有正弦函数展开式：